Factorials 阶乘
题目大意：给你一个数n，求出n ! 的最后一个非零位。
注释：n<=4200
想法：开始的想法是觉得这道题应该比较的有趣，因为我们知道，一个数的阶乘的最后的非零位后面或者是0，或者n<=4，所以，我们思考，如何才能有效的登出这个非零位。首先，我们发现，这个非零位后面零的个数是和n！中5的个数有关的，所以，我们思考：如果我们使得这个阶乘没有5会怎么样。想着想着，我相信你的头脑里会自然地蹦出一个定理——唯一分解定理。为什么？因为只有在这个定理的辅助下你才可以将5全部提取出来。我们又想到：由于唯一分解定理的存在，每个数都是有一个或几个定下来的素数组成，我们只需要这句话的一个性质：素数。一个数由素数组成，显然，这个素数是不大于本数的，n的数据范围是4200，是完全在我们的接受范围之内，想到这，这道题的大体轮廓就分为这样几个步骤：
1.筛出n之前的所有素数，由于n的数据范围过小，我们可以O ( n ) 的方法去筛。
2.对于每一个素数，我想求出n！中这个元素最多可以被整除多少次，也就是说我们到底有多少数包含多少这个素数。在此，介绍一个定理$f(n,k)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{k^i}\rfloor$其中，f(n,k)，表示n！中k的个数。
3.这么筛，显然不对，4200里面2的个数就够我们受的了，我们想得到一种优化，我们发现，我们其实只需要得到这个素数的最后一位即可。
4.但，还是有些困难，我们又发现了，对于每一个素数来讲（假设这个素数是a）$a^{4*k+i}=a^i$，我们只需处理%4意义下的即可。但是，a==2是需要特判。
呼~长出一口气，这题就切了。
最后，附上丑陋的代码......
1 #include2 #include 3 #include 4 using namespace std; 5 int x[600]; 6 int ans[4178]; 7 int num(int a,int b)//计算素数在n!中的个数，这个函数表示b在a!中的个数 8 { 9 int ans=0;10 while(a)11 {12 ans+=a/b;13 a/=b;14 }15 return ans;16 }17 int power(int a,int b)//快速幂，其实可以直接乘，因为我们只考虑模4意义下18 {19 a%=10;20 int ans=1;21 while(b)22 {23 if(b&1) ans=(ans*a)%10;24 b>>=1;25 a=(a*a)%10;26 }27 return ans;28 }29 bool prime(int a)//判断是否为素数30 {31 int k=(int)(sqrt(a));32 bool flag=true;33 for(int i=2;i<=k;i++)34 {35 if(a%i==0)36 {37 flag=false;38 break;39 }40 }41 return flag;42 }43 int main()44 {45 int n;46 int cnt=0;47 scanf("%d",&n);48 for(int i=2;i<=n;i++)//筛素数49 {50 if(prime(i)) x[++cnt]=i;51 }52 for(int i=1;i<=cnt;i++)//用ans[]存素数个数53 {54 ans[x[i]]+=num(n,x[i]);55 }56 ans[2]-=ans[5];//我们再次用等数量的2将5替换掉，以便将最后的零去掉。57 ans[5]=0;58 int ansans=1;59 for(int i=1;i<=cnt;i++)//对于每一个素数来讲，我们进行计算60 {61 ans[x[i]]%=4;62 if(ans[x[i]]==0&&x[i]==2)//特判2，因为别的素数的4次方的最后一位都是1(5已经除去)，但2不是63 {64 ansans*=6;65 ansans%=10;66 }67 ansans*=power(x[i],ans[x[i]]);68 ansans%=10;//我们只要最后一位69 }70 printf("%d\n",ansans);71 return 0;72 }
小结：错误：
2A，第一次忘记特判2。